Ecuaciones 2º grado, bicuadradas, sistemas lineales, sistemas no lineales y problemas de la 4º ESO

La letra x x es la incógnita de la ecuación y representa al número desconocido que hace que la igualdad sea verdadera. Resolver la ecuación consiste en encontrar este número, llamado solución de la ecuación.

Ecuaciones 2º grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, aquella en la que el grado mayor de los monomios es 2 (es decir, su parte literal es x2 ).

Puesto que la ecuación es de grado 2, tenemos, a lo sumo, 2 raíces (soluciones) distintas.

Toda ecuación de segunda grado se puede escribir o reducir a una ecuación equivalente cuya forma sea:

ax² + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Si ninguno de los coeficientes, a, b y c es cero, es decir,

Diremos que la ecuación es completa. Si no (si alguno es 0), diremos que es incompleta.

Las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado (en la forma anterior) vienen dadas por la fórmula cuadrática:

Llamamos discriminante, Δ, de la ecuación al radicando de la fórmula anterior, es decir,

Se cumple que

Si Δ es 0, la ecuación tiene una única solución (de multiplicidad 2)
Si Δ es menor que 0, no existen soluciones (reales)
Si Δ es mayor que 0, existen dos soluciones (reales) distintas (de multiplicidad 1).

ProblemasSolucion

Ecuaciones Bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones de cuarto grado con la siguiente forma:

Es decir, son ecuaciones de cuarto grado en las que aparecen, a lo sumo, todos los monomios que tienen la incógnita con exponente par (es decir, X⁴, X² y X⁰). Decimos a lo sumo ya que los coeficientes b y c pueden ser 0, pero no puede serlo el coeficiente a.

Como una ecuación bicuadrada es un caso de ecuación de cuarto grado, la ecuación tiene, como mucho, 4 soluciones.

Se puede resolver una ecuación bicuadrada, por ejemplo, mediante la regla de Ruffini, pero suele ser más rápido aplicar un cambio de variable como vamos a ver en esta página.

Método de resolución

Consideremos, pues, la ecuación bicuadrada en su forma general:

Aplicamos el cambio de variable siguiente:

Es decir, escribimos la incógnita t en lugar de X² y t² en lugar de x⁴:

Obtenemos, así, una ecuación de segundo grado, tipo de ecuación que ya sabemos resolver. Luego,

La resolución de una ecuación bicuadrada se reduce a la resolución de una ecuación de segundo grado.

Supongamos que hemos calculado las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado y son t¹ y t². Como t=X², haciendo la raíz cuadrada, tenemos que:

Por tanto, haciendo la raíz cuadrada, tenemos las cuatro soluciones de la ecuación inicial:

Sistemas Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Ejemplo de un sistema:

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo anterior es:

x = 1
y = −1

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta página resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos.
Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

Sistemas Resueltos

Ver Sustitución

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Ver Igualación

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Ver Reducción

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Ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0